Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．

（Ⅰ）当时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意, ：当时，,当时，是一次函数, 可设为，将与代入求出即可；（Ⅱ）分段函数最值分段求, 当时，为增函数，故当时，其最大值为,当时，是二次函数,利用二次函数性质,求出最大值,然后比较,谁最大为谁.

试题解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得,故函数的表达式为

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得,当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，，当且仅当，即时，等号成立．所以，当时，在区间上取得最大值．

综上，当时，在区间上取得最大值，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

考点：1、求函数解析式, 2、求二次函数最大值.