Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA₁⊥平面ABCD．
（1）证明：平面A₁AE⊥平面A₁DE；
（2）若DE=A₁E，试求异面直线AE与A₁D所成角的余弦值．

Answer

（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°-∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．
（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．
【解析】
（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…（1分），
∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…（2分），
又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°-∠ECD）=30°…（3分）
∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°，即DE⊥AE…（4分），
∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…（5分），
∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…（6分），
∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…（7分）．
（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…（8分）
∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C
∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D
∴EF∥A1D…（9分），
可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…（10分）．
∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1
∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…（12分），
∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…（14分）