Question

某学校每星期一供应1000名学生A、B两种菜．调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．设第n个星期一选A、B两种菜分别有a_n、b_n名学生．
（1）若a₁=500，求a₂、a₃；
（2）求a_n，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在600名附近．

Answer

（1）根据“凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A”直接建立等式关系；
（2）根据题意可得an=an-1×（1-20%）+bn-1×30%，可转换成{an-600}是以a1-600为首项，为公比的等比数列，可求出an，根据数列的解析式可求推出选A种菜的学生将稳定在600名附近．
【解析】
（1）a2=500×（1-20%）+（1000-500）×30%=550…（2分），
a3=550×（1-20%）+（1000-550）×30%=575…（4分）．
（2）∀n∈N+，n＞1，an=an-1×（1-20%）+bn-1×30%…（5分）；
=an-1×（1-20%）+（1000-an-1）×30%…（7分）
所以an-600=（an-1-600）…（9分），
{an-600}是以a1-600为首项，为公比的等比数列…（10分），
∴an-600=（a1-600）×…（11分），
即an=600+（a1-600）×…（12分），
随着时间推移，即n越来越大时，趋于0…（13分），
所以（a1-600）×趋于0，an趋于600并稳定在600附近…（14分）．