Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP所成二面角的大小．

Answer

（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，进而求出PC，BE，BF的方向向量，根据向量的数量积为0，则向量垂直，可证得PC⊥BF，PC⊥EF，再由线面垂直的判定定理得到答案．
（II）由已知及（I）中结论，可得向量=（0，2 ，0）是平面BAP的一个法向量，向量=（2，2 ，-2）是平面BEF的一个法向量，代入向量夹角公式，可得平面BEF与平面BAP所成二面角的大小．
【解析】
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2 ，0），D（0，2 ，0），E（0，，0），F（1，，1）
证明：（I）由题意得=（2，2 ，-2），=（-2，，0），=（-1，，1），
∵•=-4+4+0=0，•=-2+4-2=0
∴⊥，⊥
∴PC⊥BF，PC⊥EF，又∵BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF
【解析】
（II）由已知可得向量=（0，2 ，0）是平面BAP的一个法向量
由（I）得向量=（2，2 ，-2）是平面BEF的一个法向量
设平面BEF与平面BAP所成二面角的大小为θ
则cosθ==
则θ=45°
即平面BEF与平面BAP所成二面角为45°