Question

一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别依次对应给出下列命题
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f （x₁）≠f （x₂）；
③若规定对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的题号是    ．

Answer

命题①先求出在x＞0时的函数值域，根据奇函数的性质，进一步求的函数在给定定义域内的值域；命题②判断函数在定义域内是单调函数；命题③若对任意n∈N*恒成立，则，验证是否有fn（x）=f（fn-1（x））成立．
【解析】
∵f（-x）==-f（x），∴f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，当x＞0时，
f（x）=，∵x＞0，∴，∴1+，∴，又x＞0，∴0＜f（x）＜1，
又函数f（x）是奇函数，所以x＜0，-1＜f（x）＜0，所以∈x（-1，1），故命题①正确．
设x1＞x2＞0，则 f（x1）-f（x2）===，
∵x1＞x2＞0∴，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，因为f（x）为奇函数，所以f（x）在
（-∞，+∞）上位增函数，若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），故命题②正确．
由f2（x）=f（f1（x））==．
==．
．
所以fn（x）=f（fn-1（x）），所以对任n∈N*恒成立．
故答案为①②③．