Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在函数的图象上．
（Ⅰ）若数列{b_n}是等差数列，求证数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n=1-2^-n，过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成三角形面积为c_n，求使c_n≤t对n∈N^*恒成立的实数t的取值范围．

Answer

（1）把点Pn（an，bn）代入函数式，根据数列{bn}是等差数列，可求得a2n+1=anan+1进而可证明数列an}为等比数列
（2）先看当n≥2时根据an=Sn-Sn-1求得数列{an}的通项公式，进而求得当n=1时也符合，求得数列{an}的通项公式代入bn=an求得bn，进而求得点Pn和Pn+1的坐标进而可得过这两点的直线方程，进而求得该直线与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求得cn，进而可得cn-cn+1的表达式判断其大于0，推断出数列{cn}的各项依次单调递减，要使cn≤t对n∈N+恒成立，需要t大于或等于数列的最大值c1，进而可推断存在最小的实数满足条件．
【解析】
（1）依题意可知bn=an，
∵数列{bn}是等差数列，
∴2bn+1=bn+bn+2，即2an+1=an+an+2=（anan+2）
∴a2n+1=anan+2
∴数列{an}为等比数列
（2）当n=1时，a1=，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）n，n=1也适合此式，
即数列{an}的通项公式是an=（）n．由bn=an，得
数列{bn}的通项公式是bn=n，
所以Pn（，n），Pn+1（，n+1）．
过这两点的直线方程是：=
可得与坐标轴的交点是An（，0），Bn（0，n+2），
cn=×|OAn|×|OBn|=，
由于cn-cn+1=-＞0，即数列{cn}的各项依次单调递减，所以t≥c1，即存在最小的实数t=18满足条件．