Question

线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），两端点A、B到x轴的距离之积为2m，O为坐标原点，以x轴为对称轴，经过A、O、B三点作抛物线．
（1）求这条抛物线方程；
（2）若，求m的最大值．

Answer

（1）设抛物线方程、直线AB的方程，联立这两个方程组消去x，利用两端点A、B到x轴的距离之积为2m，可求m的值，从而可得抛物线方程；
（2）利用tan（∠AOM+∠BOM）=-1，结合韦达定理，确定k、m的关系式，从而可得不等式，由此可求m的最大值．
【解析】
（1）可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
设直线AB的方程为y=k（x-m）（k≠0）…（2分）
联立这两个方程组消去x得，ky2-2py-2pkm=0，…（4分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得|y1|•|y2|=2m，注意到y1•y2＜0，所以y1•y2=-2m，
又y1•y2=-2pm，所以-2m=-2pm，因为m＞0，所以p=1．
所以抛物线方程为y2=2x；…（6分）
（2）因为，所以tan∠AOB=-1，即tan（∠AOM+∠BOM）=-1
又，，
所以，
整理得y1y2+4=2（y1-y2）．…（8分）
因为y1y2=-2m，所以y1-y2=2-m＞0，从而，
即，所以，即，
因此m2-12m+4＞0，…（10分）
又当AB⊥x轴时，y1+y2=0，所以8m=（2-m）2，即m2-12m+4=0，
于是m2-12m+4≥0，且0＜m＜2，解之不等式组得到．
故m的最大值是．…（12分）