Question

选修4-4：坐标系与参数方程：
（1）已知二次函数，（α为参数，cosα≠0）求证此抛物线顶点的轨迹是双曲线．
（2）长为2a的线段两端点分别在直角坐标轴上移动，从原点向该线段作垂线，垂足为P，求P的轨迹的极坐标方程．

Answer

（1）把二次函数配方可得y=（x-secα）2+tanα，解得 ，故顶点的坐标为（secα，tanα），利用同角三角函数的基本关系消去α得到顶点轨迹方程，从而得出结论．
（2）再设线段AB中点P的坐标为（ρ，θ），根据等面积法=，化简求得P的轨迹的极坐标方程．
【解析】
（1）把二次函数 配方得：y=（x-secα）2+tanα；…（2分）
解得 …（4分）所以顶点的坐标为（secα，tanα），
利用同角三角函数的基本关系消去α得 x2-y2=1，故顶点轨迹为双曲线．…（5分）
（2）再设线段AB中点P的坐标为（ρ，θ），则直角三角形OAB的面积为
，=，故有••=•2a•ρ，
化简可得 ρ=asin2θ，P的轨迹的极坐标方程为 ρ=asin2θ．…（10分）