Question

已知数列的首项为a₁=2，前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，当n≥2时，a_n总是3S_n-4与的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n+1）a_n，T_n是数列{b_n}的前n项和，n∈N^*，求T_n；
（Ⅲ）设，P_n是数列{c_n}的前项和，n∈N^*，试证明：．

Answer

（Ⅰ）当，由此能导出数列{an}是首项是2，公比是的等比数列，从而能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由，知Tn=b1+b2+…bn=，利用错位相减法能求出Tn．
（Ⅲ）由=，能够证明．
（Ⅰ）【解析】
当，

∴．
∴数列{an}是首项是2，公比是的等比数列，
∴=．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ），知．
则Tn=b1+b2+…bn=…①
∴…②…（5分）
①-②，得
=
=．
∴．…（8分）
（Ⅲ）证明：∵
=…（12分）
∴
=．…（14分）