Question

设函数．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，对任意的正整数n，在区间上总有m+4个数使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，试求正整数m的最大值．

Answer

（1）求导函数，确定函数的单调性，进而可求f（x）的极值；
（2）求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可确定函数的单调区间；
（3）当a=2时，，求出函数的最值，问题转化为恒成立．
令，且f（k）在上单调递增，由此可求正整数m的最大值．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=0时，，∴．…（2分）
由f'（x）=0得．
f（x），f'（x）随x变化如下表：

x
f（x） - +
f'（x） ↘ 极小值 ↙

故，，没有极大值．…（4分）
（2）由题意，
令f'（x）=0得，．…（6分）
若a＞0，由f'（x）≤0得；由f'（x）≥0得．…（7分）
若a＜0，①当a＜-2时，，或，f'（x）≤0；，f'（x）≥0，
②当a=-2时，f'（x）≤0
③当-2＜a＜0时，或，f'（x）≤0；，f'（x）≥0．
综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当a＜-2时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当-2＜a＜0时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为…（10分）
（3）当a=2时，．
∵，∴f'（x）≥0
∴，．…（12分）
由题意，恒成立．
令，且f（k）在上单调递增，
∴，因此，而m是正整数，故m≤32，
所以，m=32时，存在，am+1=am+2=am+2=am+4=8时，对所有n满足题意，∴mmax=32．