Question

甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A1、A2，由A1与A2互斥，能求出从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解析】
（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，
包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、
“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，
分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，
则：P（A1）==，P（A2）==，（4分）
∴P（A）==，
故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为．（6分）
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=+=，
P（ξ=2）=+=，（答对一个得1分）（9分）
∴ξ的分布列为

ξ 1 2
P

∴Eξ=0×+1×+2×=．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分对给1分）（12分）