Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n，数列{b_n}满足b₁=，b₂=，对任意n∈N^*．都有=b_n•b_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，若对任意的n∈N^*，不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用nan+1=2Sn，再写一式，两式相减，再叠乘，即可求数列{an}的通项公式；在数列{bn}中，由=bn•bn+2，b1=，b2=，知数列{bn}是等比数列，首项、公比均为，由此可得数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和，再将不等式转化为（1-λ）n2+（1-2λ）n-6＜0恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵nan+1=2Sn，∴（n-1）an=2Sn-1（n≥2），两式相减得，nan+1-（n-1）an=2an，
∴nan+1=（n+1）an=，即，
∴an==n（n≥2），
a1=1满足上式，故数列{an}的通项公式an=n（n∈N*）．
在数列{bn}中，由=bn•bn+2，b1=，b2=，知数列{bn}是等比数列，首项、公比均为，
∴数列{bn}的通项公式bn=；
（Ⅱ）∵Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=+2×+…+n×     ①
∴Tn=+2×+…+（n-1）×+       ②
由①-②，得Tn=+++…+-=1-，
∴Tn=2-
∴不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）即为λn（2-）+＜2（λn+），
即（1-λ）n2+（1-2λ）n-6＜0恒成立．
设f（n）=（1-λ）n2+（1-2λ）n-6，
当λ=1时，f（n）=-n-6＜0成立，则λ=1满足条件；
当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ＞1时，由于＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，f（n）≤f（1）=-3λ-4＜0恒成立，则λ＞1满足条件．
综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．