Question

已知双曲线W：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点N（0，b），右顶点是M，且•=-1，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点，若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，求实数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用•=-1，可得•=a2-ac=-1，根据∠NMF2=120°，可得c=2a，由此可求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程代入双曲线方程，消去y，利用直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点，确定k的范围，根据点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，可得＞0，由此可得得实数k的范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知M（a，0），N（0，b），F2（c，0），
∴•=（-a，b）•（c-a，0）=a2-ac=-1，
∵∠NMF2=120°，∴∠NMF1=60°，∴b=a，∴c2-a2=3a2，∴c=2a
∴a=1，b=，
∴双曲线的方程为．（4分）
（Ⅱ）由题知，直线l的斜率存在且不为0，设为k（k≠0），直线l：y=kx-2，代入双曲线方程，消去y可得
（3-k2）x2+4kx-7=0，（6分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则，解得．①（8分）
∵点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，则＞0，（9分）
∴=（x1-7，y1）•（x2-7，y2）=（1+k2）x1x2-（7+2k）（x1+x2）+53
=（1+k2）×-（7+2k）×+53=＞0
∴k＞2  ②（11分）
由①、②得实数k的范围是（2，）．（12分）