Question

某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12-x）²万件．
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer

（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．
【解析】
（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11]．
（2）L′（x）=（12-x）2+2（x-3-a）（12-x）×（-1）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）．
令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．
在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．
所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，
Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）；
当9＜6+a≤，即＜a≤5时，
Lmax=L（6+a）=（6+a-3-a）[12-（6+a）]2
=4（3-a）3，

即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）万元；
当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3-a）3万元．