Question

已知函数的图象经过（其中e为自然对数的底数，e≈2.71）．
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，都有成立．

Answer

（Ⅰ）利用函数y=f（x）的图象过点，建立方程，即可求得实数a；
（Ⅱ）求导数，求得f′（x）=0时，x=e，从而由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为，从而可得当x＞1时，恒成立，当n∈N*时，令x=en≥e＞1，则有，由此可证结论．
（Ⅰ）【解析】
由y=f（x）的图象过点得，所以a=1．         …（2分）
（Ⅱ）【解析】
求导数可得：…（4分）
由x＞1知，
令g（x）=x-lnx，则，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，g（x）=x-lnx＞g（1）＞0
令f′（x）=0得x=e，令f′（x）＞0得，x＞e，令f′（x）＜0得1＜x＜e
故f（x）的增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）．                             …（7分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为…（8分）
即当x＞1时，恒成立
当n∈N*时，令x=en≥e＞1，则有，即…（10分）
故成立．                       …（12分）