Question

某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）单位：元）
（1）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）的居民数X的分布和数学期望．

Answer

（1）利用频率是纵坐标乘以组距，可求居民月收入在[1500，2000）的概率；
（2）利用频率是纵坐标乘以组距，中位数在[2000，2500），设中位数为x，建立方程可得结论；
（3）确定X～B（3，0.4），求出概率，可得分布列与数学期望．
【解析】
（1）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500，2000）的概率约为0.0004×500=0.2．    …（2分）
（2）频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），设中位数为x，
则0.0002×500+0.0004×500+0.0005×（x-2000）=0.5，解得x=2400   …（6分）
（3）居民月收入在[2500，3500）的概率为（0.0005+0.0003）×500=0.4．
由题意知，X～B（3，0.4），…（8分）
因此P（X=0）==0.216，P（X=1）=，
P（X=2）=，P（X=3）=，
故随机变量X的分布列为

X 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064

…（10分）
X的数学期望为EX=0×0.216+1×0.432+2×0.0288+3×0.064=1.2．…（12分）