Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）求函数y=f（x）的最小值．

Answer

（Ⅰ）化简函数f（x）=，不等式f（x）≥4 等价于：，或 ，或 ．求出各个不等式组的解集，再取并集
即得所求．
（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数 y=f（x） 的最小值在 x=- 处取得，由此求得函数的最小值．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|-|x-3|=，…（3分）
不等式f（x）≥4 等价于：
 ，或 ，或  ．
解得：x≤-8，或 x≥2，
故不等式的解集为 {x|x≤-8 或 x≥2 }．…（6分）
（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数 y=f（x） 的最小值在 x=- 处取得，
此时 fmin（x）=-．…（10分）