Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程．

Answer

（1）设椭圆的方程为，由已知解得，c=2，所以椭圆的方程为，离心率．
（2）由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x-3），由方程组得（3k2+1）x2-18k2x+27k2-6=0．依题意△=12（2-3k2）＞0，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的位置关系可知直线PQ的方程为或．
（1）【解析】
由题意，可设椭圆的方程为
由已知得解得，c=2
所以椭圆的方程为，离心率
（2）【解析】
由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x-3），由方程组得（3k2+1）x2-18k2x+27k2-6=0
依题意△=12（2-3k2）＞0，得
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则①②
由直线PQ的方程得y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）
于是y1y2=k2（x1-3）（x2-3）=k2[x1x2-3（x1+x2）+9]③
∵∴x1x2+y1y2=0④
由①②③④得5k2=1，从而
所以直线PQ的方程为或