Question

下列所给命题中，正确的有    （写出所有正确命题的序号）
①任意的圆锥都存在两条母线互相垂直；
②在△ABC中，若，则∠C=30°或150°；
③关于x的二项式的展开式中常数项是24；
④命题P：∀x∈R，x²+1≥1；命题：q：∃x∈R，x²-x+1≤0，则命题P∧（￢q）是真命题；
⑤已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是．

Answer

①利用特例判断正误；
②通过三角函数的平方关系式以及两角和的正弦函数，求出C的值，判断正误；
③利用二项式定理展开式，求出常数项，判断正误即可；
④通过判断命题的真假判断正误即可．
⑤通过数形结合求出a的取值范围，判断正误；
【解析】
①任意的圆锥都存在两条母线互相垂直；这是不正确的．圆锥的顶角小于90°时就没有了．
②4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3，∴16sin2A+4cos2B+16sinAcosB=1，①
4sin2B+16cos2A+16sinBcosA=27②
①+②得16+4+16sin（A+B）=28，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=，所以C=30°，故②不正确；
③【解析】
二项展开式的通项为Tr+1=（-1）r24-rC4rx4-2r，令4-2r=0得r=2
所以展开式的常数项为4C42=24；正确．
④命题P：∀x∈R，x2+1≥1；命题：q：∃x∈R，x2-x+1≤0，则命题P∧（￢q）是真命题；正确．
⑤因为-x2+logax＞0在 x∈（0，）上恒成立，即logax＞x2恒成立，如图：
当a＞1时不符合要求；
当0＜a＜1时，若y=logax过点（ ，），
即 =loga，所以a=，故 ≤a＜1，
综上所述，a的范围为：[，1），所以⑤不正确．
故答案为：③④．