Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=5-log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（3）设T_n=++…+，求T_n．

Answer

（1）直接利用a3+a5=5，以及a3与a5的等比中项为2即可求出a3和a5，进而求出数列{an}的通项公式；
（2）先把（1）的结论代入整理出数列{bn}的通项公式，得数列{bn}为等差数列，再代入等差数列的求和公式即可；
（3）先利用（2）的结论知==2（-），再代入求和即可．
【解析】
（1）an＞0，∴a3+a5=5，又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5=4，而q∈（0，1），
∴a3＞a5，∴a3=4，a5=1，∴q=，a1=16，
∴an=16×=25-n；
（2）bn=5-log2an=5-（5-n）=n，∴bn+1-bn=1，
∴{bn}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列．
∴Sn=；
（3）由（2）知==2（-）
∴Tn=+++=2[（1-）+（-）++（-）=2（1-）=；