Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，则此双曲线的离心率等于（ ）
A．
B．
C．2
D．

Answer

双曲线的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），两条渐近线方程为y=-，y=，由过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．点P是线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，知PF1⊥OP，所以过F1的直线PQ的方程为：y=，解方程组，得P（-，），所以|PF1|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF1|=|OF2|=|OQ|=c，|QF2|=2a，再由余弦定理，能求出此双曲线的离心率．
【解析】
∵双曲线的左右焦点分别为F1，F2，
∴F1（-c，0），F2（c，0），双曲线的两条渐近线方程为y=-，y=，
∵过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．点P是线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，
∴PF1⊥OP，
∴过F1的直线PQ的斜率，
∴过F1的直线PQ的方程为：y=，
解方程组，得P（-，），
∴|PF1|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF1|=|OF2|=|OQ|=c，|QF2|=2a，
∵tan∠QOF2=，∴cos∠QOF2=，
由余弦定理，得cos∠QOF2==1-=，
∴1-=，即e2-e-2=0，
解得e=2，或e=-1（舍）
故选C．