Question

已知函数f（x）=x²-（m+1）x+4．
（Ⅰ）当x∈（0，1]时，若m＞0，求函数F（x）=f（x）-（m-1）x的最小值；
（Ⅱ）若函数G（x）=2^f（x）的图象与直线y=1恰有两个不同的交点A（x₁，1），B（x₂，1）（0≤x₁＜x₂≤3），求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）F（x）=f（x）-（m-1）x=x2-2mx+4，x∈（0，1]，对称轴x=m（m＞0），对m分类讨论，即可得到函数F（x）=f（x）-（m-1）x的最小值；
（Ⅱ）G（x）=2f（x）=与直线y=1=2恰有两个不同的交点A（x1，1），B（x2，1）（0≤x1＜x2≤3），等价于关于x的方程x2-（m+1）x+4=0在[0，3]上有两个不等的实数根，建立不等式组，即可确定实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）F（x）=f（x）-（m-1）x=x2-2mx+4，x∈（0，1]
对称轴x=m（m＞0），
①当0＜m≤1时，F（x）min=F（m）=4-m2，
②当m＞1时，F（x）min=F（1）=5-2m，
∴F（x）min=
（Ⅱ）G（x）=2f（x）=与直线y=1=2恰有两个不同的交点A（x1，1），B（x2，1）（0≤x1＜x2≤3），等价于关于x的方程x2-（m+1）x+4=0在[0，3]上有两个不等的实数根
∴，解得3＜m≤，
∴实数m的取值范围为．