Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₃S₃=24，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，求T_n．
①求T_n；
②记，若恒成立，求k的最大值．

Answer

（Ⅰ）设{an}的公差为d（d＞0），{bn}的公比为q，则利用b2S2=6，b3S3=24，可建立方程组，从而可求数列的公差与公比，从而可得数列{an}和{bn}的通项公式；
（II）由（I）知，
①是一个典型的错位相减法模型，.是一个典型的裂项求和法模型，由此可得结论；
②记，确定在（k∈N*）上单调递减，即可求k的最大值．
【解析】
（Ⅰ）设{an}的公差为d（d＞0），{bn}的公比为q，则，
依题意有，∴或（舍去）
解得，故an=n，（n∈N*）
（II）由（I）知，
①是一个典型的错位相减法模型，.是一个典型的裂项求和法模型，=．
②记，
∵，
∴在（k∈N*）上单调递减，
∴，
∴k≤9，
∴（k）max=9．