Question

已知抛物线y²=4px（p＞0），弦AB过焦点F，设|AB|=m，三角形AOB的面积为S，则S²=    （用含有m，p的式子表示）．

Answer

设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB所在直线的方程为y=k（x-p），与抛物线y2=4px联解，并结合一元二次方程根与系数的关系，得y1y2=-4p2．根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+2p=m，结合抛物线方程化出y12+y22=4mp-8p2，可得|y1-y2|=．最后根据三角形面积公式，得S=|OF|•|y1-y2|=p，进而得到本题的答案．
【解析】
∵抛物线y2=4px的焦点为F（p，0）
∴设弦AB所在直线的方程为y=k（x-p），（k≠0）
与抛物线y2=4px联解，得ky2-4py-4kp2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1y2=-4p2．
根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+2p=m
∴x1+x2=y12+y22=m-2p，得y12+y22=4p（m-2p）=4mp-8p2．
由此可得|y1-y2|2=（y12+y22）-2y1y2=4mp-8p2-（-8p2）=4mp
∴S△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1-y2|=p
因此，可得S2△AOB=p2•4mp=mp3，即S2=mp3
故答案为：mp3