Question

已知函数f（x）=sinx•cosx+2cos²x+m在区间[0，]上的最大值为2．
（1）求常数m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为．求边长a．

Answer

（1）将f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的最大值为1，及函数最大值是2，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）由f（A）=1及第一问确定的函数解析式，得到sin（2A+）的值，由A为三角形的内角，求出2A+的范围，利用特殊角的三角函数值求出2A+的值，得到A的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinC，得到b与c的方程，由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得到b与c的另一个方程，联立两方程求出b与c的长，再由cosA的值，利用余弦定理即可求出a的长．
【解析】
（1）f（x）=2sinx•cosx+2cos2x+m
=sin2x+（1+cos2x）+m
=2（sin2x+cos2x）+m+1
=2sin（2x+）+m+1，
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，
∵正弦函数在区间[，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，
∴当2x+=，即x=时，函数f（x）在区间[0，]上取到最大值，
由f（x）max=m+3=2，解得：m=-1；
（2）由m=-1，得到f（x）=2sin（2x+），
∵f（A）=1，∴2sin（2A+）=1，
∴sin（2A+）=，，又2A+∈[，]，
解得：A=0（舍去）或A=，
∵sinB=3sinC，
∴利用正弦定理化简得：b=3c①，
∵△ABC面积为，A=，即sinA=，
∴S△ABC=bcsinA=bcsin=，
整理得：bc=3②，
联立①②，解得：b=3，c=1，
∵a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos=7，
∴a=．