Question

设⊙C₁，⊙C₂，…，⊙C_n是圆心在抛物线y=x²上的一系列圆，它们圆心的横坐标分别记为a₁，a₂，…，a_n，已知a₁=，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，若⊙C_k（k=1，2，3，…，n）都与x轴相切，且顺次两圆外切．
（1）求证：是等差数列；
（2）求a_n的表达式；
（3）求证：a₁²+a₂²+…+a_n²＜．

Answer

（1）由题意知：⊙Cn：rn=，⊙Cn-1 ；，根据两圆相外切的性质可知|Cn-1Cn|=rn-1+rn，根据两点间的距离公式整理可求，根据等差数列的通项公式可求进而可求an
（2）根据（1）可求，进而可求an
（3）由=，利用裂项求和及不等式的放缩法可证
（1）证明：由题意知：rn=yn，
所以Cn-1（an-1，），Cn（an，）…（2分）
∵|Cn-1Cn|=rn-1+rn，
∴=…（4分）
两边平方，整理得 …（5分）
∵an-1＞an，
∴an-1-an=2an-1an…（6分）
∴…（7分）
故是以4为首项，公差为2的等差数列．…（8分）
（2）【解析】
由（1）知，，
∴  …（10分）
（3）证明：∵…（11分）
=…（12分）
∴
=…（14分）