Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a-6，f′（2）=-b-18，其中常数a，b∈R．
（1）判断函数f（x）的单调性并指出相应的单调区间；
（2）若方程f（x）=k有三个不相等的实根，且函数g（x）=x²-2kx+1在[-1，2]上的最小值为-23，求实数k的值．

Answer

（1）由f′（x）=3x2+2ax+b，依题意，有，由此能判断函数f（x）的单调性并指出相应的单调区间．
（2）由（1）知，函数f（x）当x=-1时取得极大值f（-1）=6，当x=3时取得极小值f（3）=-26．故当方程f（x）=k有三个不相等的实根时，-26＜k＜6．由此能求出方程f（x）=k有三个不相等的实根，且函数g（x）=x2-2kx+1在[-1，2]上的最小值为-23时实数k的值．
【解析】
（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+1，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
依题意，有，
解得，
∴f（x）=x3-3x2-9x+1，
f′（x）=3x2-6x-9．
∵由f′（x）＞0，得x＜-1，或x＞3，
由f′（x）＜0，得-1＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，-1）、（3，+∞）上单调递增，在（-1，3）上单调递减．
（2）由（1）知，函数f（x）当x=-1时取得极大值f（-1）=-1-3+9+1=6，
当x=3时取得极小值f（3）=27-27-27+1=-26．
∴当方程f（x）=k有三个不相等的实根时，
-26＜k＜6．
∵g（x）=x2-2kx+1=（x-k）2+1-k2，
∴当k≥2时，g（x）min=g（2）=4-4k+1=-23，
解得k=7，与-26＜k＜6矛盾．
当-1＜k＜2时，=-23，
解得k=，与-1＜k＜2矛盾．
当k≤-1时，g（x）min=g（-1）=1+2k+1=-23，
解得k=-，
∴k=-．