Question

已知函数．
（I）若，求sin2x的值；
（II）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值与单调递增区间．

Answer

（I）将函数f（x）展开，再用降次公式化简整理，得f（x）=sinx+cosx．将平方，再结合同角三角函数基本关系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；
（II）将函数f（x）和f（-x）表达式代入，得函数F（x）=1+sin2x+cos2x，化简得：F（x）=sin（2x+）+1．由此结合正弦函数最值和单调区间的结论，可得函数F（x）的最大值与单调递增区间．
【解析】
=1+2sincos-（1-cosx）
∴f（x）=sinx+cosx
（I）f（x）=sinx+cosx=，两边平方得（sinx+cosx）2=
∴1+2sinxcosx=，可得2sinxcosx=，即sin2x=
（II）∵f（x）•f（-x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，
f2（x）=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函数F（x）=f（x）•f（-x）+f2（x）=1+sin2x+cos2x，
化简，得数F（x）=sin（2x+）+1
当2x+=+2kπ时，即x=+kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为+1
令-+2kπ＜2x+＜+2kπ（k∈Z），得-+kπ＜x＜+kπ
∴函数F（x）单调递增区间为（-+kπ，+kπ）．