Question

（理科）设点A（1，2），B（2，1）如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a²+b²（ ）
A．最大值为
B．最大值为
C．最小值为
D．最小值为

Answer

由题意得：点A（1，2），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧（或过A，或过B），那么把这两个点代入ax+by=1，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a2+b2的最小值．
【解析】
∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，
∴点A（1，2），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧（或过A，或过B），
∴（a+2b-1）（2a+b-1）≤0，
画出它们表示的平面区域，如图所示．
a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线2a+b-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，即
∴a2+b2的最小值为
故选C．