Question

某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机，2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中（不同种商品的型号不同），选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买任何一种型号的商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m（m＞0）元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，
（Ⅰ）求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号的概率；
（Ⅱ）（文科）若顾客购买两种不同型号的商品，求中奖奖金至少2m元的概率；
     （理科）设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X．请写出X的分布列，并求X的数学期望；
（Ⅲ）（理科）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

Answer

（Ⅰ）求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号包括洗衣机、电视机各一种型号，空调两种型号；洗衣机两种型号，电视机、空调各一种型号；电视机两种型号，洗衣机、空调各一种型号，从而可求概率；
（Ⅱ）（Ⅱ）（文科）设事件B“若顾客购买两种不同型号的商品，中奖至少2m元”，利用间接法能求出若顾客购买两种不同型号的商品，中奖奖金至少2m元的概率．
（理科）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m，分别求出相应的概率，即可写出X的分布列，利用期望公式可求X的数学期望；
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，故可建立不等式，由此可求每次中奖最低奖金．
【解析】
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）设选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号为事件A，
则P（A）==．
（Ⅱ）（文科）设事件B“若顾客购买两种不同型号的商品，中奖至少2m元”，
则P（B）=1-P（）=1-=，
故若顾客购买两种不同型号的商品，中奖奖金至少2m元的概率为．
（理科）X的所有可能取值为0，m，2m，3m，
P（X=0）==，
P（X=m）==，
P（X=2m）==，
P（X=3m）==，
∴写出X的分布列为

 X  0  m  2m  3m
 P        

X的数学期望EX=0×+m×+2m×+3m×=1.5m．
（Ⅲ）（理科）要使促销方案对商场有利，
应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，
因此应有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．