Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=，所以a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n≥2．所以=3（n≥2）．由此能够求出an．
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n•3n-2．当n≥2时，Tn=1+4•3+6•31+…+2n•3n-2，由错位相减法得到（n≥2），又因为T1=a1=1也满足上式，所以Tn=．
（3）an≥（n+1）λ等价于λ≤，当n≥2时，，设f（n）=，则f（n+1）-f（n）=＜0，由此能求出实数λ的取值范围．
【解析】
（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=
所以a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n≥2）------------（1分）
两式相减得nan=
所以=3（n≥2）------------（2分）
因此数列{nan}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以nan=2•3n-2（n≥2）----（3分）
故an=------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n•3n-2
当n≥2时，Tn=1+4•3+6•31+…+2n•3n-2，------------（5分）
∴3Tn=3+4•31+…+2（n-1）•3n-2+2n•3n-1，------------（6分）
两式相减得（n≥2）------------（7分）
又∵T1=a1=1也满足上式，------------（8分）
所以Tn=------------（9分）
（3）an≥（n+1）λ等价于λ≤，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时，
设f（n）=，
则f（n+1）-f（n）=＜0，------------（12分）
∴，又及，------------（13分）
∴所求实数λ的取值范围为λ≤------------（14分）