Question

已知焦点在x轴上椭圆的长轴的端点分别为A，B，O为椭圆的中心，F为右焦点，且，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰好为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用，离心率e=，可求几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆与点P，Q两点，且F恰好为△PQM的垂心，设直线l为y=x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理，及，即可求得直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则A（-a，0），B（a，0），F（c，0）
∵
∴（c+a，0）•（c-a，0）=-1
∴c2-a2=-1
∵离心率e=，∴
∴a2=2，c2=1
∴b2=a2-c2=1
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆与点P，Q两点，且F恰好为△PQM的垂，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1.0），所以kPQ=1．
于是设直线l为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2-2=0
∴x1+x2=-，x1x2=
∵
∴x1（x2-1）+y2（y1-1）=0
∴2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0=0
∴2×-（m-1）+m2-m=0=0
∴m=-或m=1（舍去）
故直线l的方程为y=x-．