Question

四棱锥P-ABCD中，PA上平面ABCD，E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足．
（1）求证：FG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得二面角F-CD-G的平面角的正切值为．

Answer

法一：（1）以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，不妨设PA=2，用坐标表示点与向量，求得平面PDC的法向量，证明，即可证明FG∥平面PCD
（2）求出平面PCD的法向量，，利用向量的夹角公式建立方程，即可求得结论；
法二：（1）延长BG交CD于Q，连PQ，BE，证明FG∥PQ，即可证得FG∥平面PCD；
（2）作FM⊥AB于M，作MN⊥CD于N，连FN，则FN⊥CD，∠FNM为二面角F-CD-G的平面角，利用二面角F-CD-G的平面角的正切值为，即可求得结论．
法一：（1）证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，不妨
设PA=2，
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（，-1.0），C（，1，0），D（0，4，0）．
由，得F（λ，-λ，2-2λ），G（，1+λ，0），=（，1+2λ，-2+2λ），
设平面PCD的法向量，则由，，
可得，取
∴，∴
∵FG⊄平面PDC，∴FG∥平面PCD
（2）【解析】
，
设平面PCD的法向量为，则由，
∴，可取
∵tanθ=，∴
∵为平面GCD的法向量
∴=
∴8λ2-14λ+5=0，∴或（舍去）
∴
法二：（1）证明：延长BG交CD于Q，连PQ，BE，平行四边形BEDC，则BE∥CQ，∴．
 又∵PF：FB=CG：GE，则QG：GB=PF：FB，∴FG∥PQ．
∵FG⊄平面PCD，PQ⊂平面PCD．
∴FG∥平面PCD
（2）【解析】
作FM⊥AB于M，作MN⊥CD于N，连FN，则FN⊥CD，∴∠FNM为二面角F-CD-G的平面角．
，不妨设PA=2，则FM=2（1-λ）=BM，MN=2-λ．
由tan∠FNM=得，即．