Question

已知数列{a_n}的奇数项是公差为d₁的等差数列，偶数项是公差为d₂的等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a₂=2．
（1）若S₅=16，a₄=a₅，求a₁₀；
（2）已知S₁₅=15a₈，且对任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1恒成立，求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a_m=a_n．求当d₁最大时，数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）确定数列的前5项，利用S5=16，a4=a5，建立方程，求出d1=2，d2=3，从而可求a10；
（2）先证明d1=d2，再利用S15=15a8，求得d1=d2=2，从而可证数列{an}是等差数列；
（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得am=an，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数．不妨设m为奇数，n为偶数，利用am=an，及d1=3d2，可得，从而可求当d1最大时，数列{an}的通项公式．
（1）【解析】
根据题意，有a1=1，a2=2，a3=a1+d1=1+d1，a4=a2+d2=2+d2，a5=a3+d1=1+2d1
∵S5=16，a4=a5，
∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16，2+d2=1+2d1
∴d1=2，d2=3．
∴a10=2+4d2=14
（2）证明：当n为偶数时，∵an＜an+1恒成立，∴2+，
∴（d2-d1）+1-d2＜0
∴d2-d1≤0且d2＞1
当n为奇数时，∵an＜an+1恒成立，∴，
∴（1-n）（d1-d2）+2＞0
∴d1-d2≤0
∴d1=d2
∵S15=15a8，∴8++14+=30+45d2
∴d1=d2=2
∴an=n
∴数列{an}是等差数列；
（3）【解析】
若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得am=an，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数
不妨设m为奇数，n为偶数
∵am=an，∴
∵d1=3d2，∴
∵m为奇数，n为偶数，∴3m-n-1的最小正值为2，此时d1=3，d2=1
∴数列{an}的通项公式为an=．