Question

已知数列{a_n}的首项为1，．
（1）若数列{a_n}是公比为2的等比数列，求p（-1）的值；
（2）若数列{a_n}是公差为2的等差数列，求证：p（x）是关于x的一次多项式．

Answer

（1）直接利用二项式定理化简表达式，然后求出p（-1）的值．
（2）利用已知关系式，分项通过二项式定理以及组合数公式，化简p（x）的表达式，即可推出结果．
【解析】

=[（1-x）+2x]n=（1+x）n，
当x=-1时p（-1）=0．
（2）若数列{an}是公差为2的等差数列，an=2n-1，

=
=+2
由二项式定理可知，=[（1-x）+x]n=1，
∵
∴
=x[]
=nx[（1-x）+x]n-1=nx．
所以p（x）=1+2nx．
即p（x）是关于x的一次多项式．