Question

已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-x+（a∈R）．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 当a≤0时，若任意给定的x∈[0，2]，在[0.2]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使 得f（x_i）=g（x）成立，求a的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用导数的正负，可求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用f（x）的最大值大于g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．
【解析】
（I）求导函数可得f′（x）=6x（x-1）------------------------（2分）
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞）；单调递减区间是（0，1）．-----------（6分）
（II） ①当a=0时，，显然不可能满足题意；------------（7分）
②当a＜0时，f'（x）=6ax2-6ax=6ax（x-1）．

 x （0，1） 1 （1，2） 2
f′（x） + -
f（x） 1 极大值1-a 1+4a

------------------------------（9分）
又因为当a＜0时，g（x）=-x+在[0，2]上是增函数，
∴对任意，-------------------------------（11分）
由题意可得，解得a＜-1．
综上，a的取值范围为（-∞，-1）．---------（13分）