Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+=0相切．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．
（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；
（ⅱ）求斜率k的取值范围．

Answer

（I）由题意知及c2=a2-b2可得a，b之间的关系，由圆与直线相切的性质可求b，进而可求a，从而可求椭圆的方程
（II）由题意可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．，联立直线与椭圆方程，根据方程有根的条件可得△＞0，从而可得关于m，k的不等式，然后根据方程的根与系数关系可求则x1+x2，x1x2，由∠NF2F1=∠MF2A．可得，根据直线的斜率公式代入可求m，k的关系，然后代入已知不等式即可求解k的范围
【解析】
（I）由题意知=，
所以==．即a2=2b2．
又因为b==1，所以a2=2，b2=1．
故椭圆C的方程为（5分）
（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.．
由△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）＞0，得m2＜2k2+1．
则有，．（7分）
因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，
所以（8分）
，即．
化简得：2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0．
将，
代入上式得m=-2k（满足△＞0）．
直线l的方程为y=kx-2k，即直线过定点（2，0）（12分）
将m=-2k代入m2＜2k2+1．得 4k2＜2k2+1．且k≠0
直线l的斜率k的取值范围是．（14分）