Question

已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设球内接圆柱的高为h，圆柱底面半径为r，得圆柱体积V关于h的函数表达式：V（h）=πR2h-πh3（0＜h＜2R）．利用求导数的方法，讨论函数V（h）的单调性，可得当h=时，V（h）取得最大值，得到本题的答案．
【解析】
设球内接圆柱的高为h，圆柱底面半径为r
则h2+（2r）2=（2R）2，得r2=R2-h2．（0＜h＜2R）
∴圆柱的体积为V（h）=πr2h=πh（R2-h2）=πR2h-πh3．（0＜h＜2R）
求导数，得V'（h）=πR2-πh2=π（R+）（R-）
∴0＜h＜时，V'（h）＞0；＜h＜2R时，V'（h）＜0
由此可得：V（h）在区间（0，）上是增函数；在区间（，2R）上是减函数
∴当h=时，V（h）取得最大值．
故选：A