Question

已知三个数列{F_n}，{k_n}，{r_n}满足：F₁=F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），r_n=F_n-3k_n，k_n∈N，0≤r_n＜3，则r₁+r₃+r₅+…+r₂₀₁₁=（ ）
A．1517
B．1511
C．1507
D．1509

Answer

rn为Fn除以3所得的余数，依次写出Fn的各项，得到{rn}的奇数项按1，2，2，1的周期规律排列．项数共有1006个奇数项，由此能够求出结果．
【解析】
rn为Fn除以3所得的余数，依次写出Fn的各项
F1  F2  F3  F4  F5  F6  F7  F8  F9  F10  F11  F12  F13  F14  F15
1   1   2   3  5   8 13  21 34  55  89  144  233 377 610
r1  r2 r3 r4  r5 r6 r7 r8  r9 r10 r11 r12 r13 r14   r15
1   1   2   0  2   2   1   0  1   1   2  0    2   2    1
从上面可以看出
r1=1，r3=2，r5=2，r7=1，r9=1，r11=2，r13=2，r15=1
{rn}的奇数项按1，2，2，1的周期规律排列．
项数共有1006个奇数项，故所求和为
251×6+3=1509，
故选D．