Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，且a₁=8，S_n=16-ka_n，n∈N^*．
（I）求k的值及a_n；
（II）设f（n）=，b_n=f（2ⁿ+1）（n∈N^*）
（i）求b_n；      
（ii）令c_n=（b_n-3）log₂a_n，求{c_n}的前n项和为T_n．

Answer

（I）由a1=S1=16-ka1=8，可得k=1，从而Sn=16-an，当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1，可得数列{an}为等比数列，从而可得数列的通项；
（II）（i）f（n）=，利用bn=f（2n+1）可求；
（ii）cn=（bn-3）log2an=，利用错位相减法，可求数列的和．
【解析】
（I）由a1=S1=16-ka1=8，可得k=1（1分）
∴Sn=16-an，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（16-an）-（16-an-1）=an-1-an，
∴an=an-1，
∴数列{an}为等比数列，首项为8，公比为（2分）
∴an=24-n（n∈N*）；（4分）
（II）（i）f（n）=
∴bn=f（2n+1）=（8分）
（ii）cn=（bn-3）log2an=（10分）
∴n≥2时，Tn=（-2）×2+（-1）×22+…+（n-4）•2n-1①
∴2Tn=（-2）×22+（-1）×23+…+（n-4）•2n②
①-②得：-Tn=-7+-（n-4）•2n=-8+2n-（n-4）•2n
∴Tn=8+（n-5）•2n（n≥2）
T1=0也满足上式
∴Tn=8+（n-5）•2n．    （12分）