Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer

（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由 ABC-A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．
（2）由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1-AD-C的余弦值．
（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．
由 ABC-A1B1C1是直三棱柱，
得四边形ACC1A1为矩形，
O为A1C的中点，又D为BC中点，
所以OD为△A1BC中位线，
所以 A1B∥OD，
因为 OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以 A1B∥平面ADC1．…（6分）
（2）【解析】
由ABC-A1B1C1是直三棱柱，
且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB1两两垂直．
以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，
∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，
∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），
∴=（-2，2，1），，
设平面ADC1的法向量为，
则，，
∴，∴=（1，2，-2），
∵平面ADC的法向量，
所以二面角C1-AD-C的余弦值为|cos＜＞|=||=．