Question

设公比为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=8，S₂=48，数列{b_n}满足b_n=4log₂a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求正整数m的值，使得是数列{b_n}中的项．

Answer

（Ⅰ）设{an}的公比为q，由a3=8，S2=48求出q的值，进而求出首项，从而求出数列{an}和{bn}的通项公式．
（Ⅱ）化简 为，令t=4-m（t≤3，t∈Z），则化为 ．如果 是数列{bn}中的项，设为第m项，则有，那么为小于等于5的整数，由此求得正整数m的值．
【解析】
（Ⅰ）设{an}的公比为q，则有，解得 q=，或q=-（舍）．
则，，…（4分）
  ．…（6分）
即数列{an}和{bn}的通项公式为，bn=-4n+24．
（Ⅱ），令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以，…（10分）
如果 是数列{bn}中的项，设为第m项，则有，那么为
小于等于5的整数，
所以t∈{-2，-1，1，2}．当t=1或t=2时，，不合题意； 当t=-1或t=-2时，，符合题意．
所以，当t=-1或t=-2时，即m=5或m=6时，是数列{bn}中的项．…（14分）