Question

如图，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，，点E在BD上，且BE=3ED．
（Ⅰ）求证：AE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer

（I）在平面BCD中，作EH⊥BC于H．平面BCD中，可得EH∥CD，结合DC⊥面ABC得EH⊥面ABC．连AH，取BC中点M，可证出△ACM是正三角形，且H是MC中点，得AH⊥BC，所以BC⊥面AHE，从而得到BC⊥AE；、
（II）作BO⊥AE于O，连CO．结合（I）的结论证出AE⊥平面BCO，所以∠BOC就是B-AE-C的平面角．利用勾股定理，计算出△BOC的各边长，最后用余弦定理，得出二面角B-AE-C的余弦值．
【解析】
（I）在平面BCD中，作EH⊥BC于H，
∵平面BCD中，CD⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥CD，得=
∵DC⊥面ABC，∴EH⊥面ABC
连AH，取BC中点M，
∵Rt△ABC中，AC=BC，∴cos∠ACB=，得∠ACB=60°
∵AM=CM=BC，∴△ACM是正三角形，
∵CH=BC=MC，∴H是MC中点，得AH⊥BC
∵EH⊥BC，AH∩EH=H，∴BC⊥面AHE
∵AE⊆平面AHE，∴BC⊥AE…（6分）
（II）作BO⊥AE于O，连CO
∵BC⊥AE，BO、BC是平面BOC内的相交直线，∴AE⊥平面BCO，
结合OC⊆平面BCO，得AE⊥OC，所以∠BOC就是B-AE-C的平面角…（10分）
令AC=1，则BC=2，AB=，CD=
Rt△EHC中，EH=CD=，CH=BC=，
∴CE==1
∵Rt△AEH中，AH=AB=，∴AE==
在△AEC中，CE=AE=1，CO⊥AE，得CO==
在△ABO中，，BO==
∴△BOC中，cos∠BOC==
所以二面角B-AE-C的余弦值为…（14分）