已知函数，其中a＞0．设它们的图象有公共点，且在该点处的切线相同．（1）试用a...

已知函数

，其中a＞0．设它们的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）试用a表示b；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（3）求b的最大值．

（1）设公共点的坐标，求导函数，利用在该点处的切线相同，即可用a表示b；（2）求导函数，确定F（x）的单调性，从而可求函数的极值；（3）由（1）知，令h（t）=（t＞0），求导数，确定函数的单调性，从而可得b的最大值【解析】（1）设公共点的坐标为（x，y），求导函数，则f（x）=g（x），f′（x）=g′（x） ∴， ∴x=a或x=-3a（舍去） ∴b=；（2）F（x）=f（x）-g（x）= ∴F′（x）= ∴F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数 ∴x=a时，F（x）有极小值0，无极大值；（3）由（1）知，令h（t）=（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt）当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当t（1-3lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0， ∴h（t）在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数 ∴h（t）在（0，+∞）上的最大值即为最大值h（）= 即b的最大值为．

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考点分析：

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某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
（2）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m-n|＞2”的概率．