Question

已知a、b∈R，a²+ab+b²=3，则a²-ab+b²的取值范围是    ．

Answer

由基本不等式得：a2+b2≥|2ab|，结合已知条件中的等式，得|2ab|≤3-ab，从而解出-3≤ab≤1，由此代入a2-ab+b2，可得所求的取值范围．
【解析】
∵a2+ab+b2=3，∴a2+b2=3-ab
∵由基本不等式，得a2+b2≥|2ab|，
∴|2ab|≤3-ab，得-3+ab≤2ab≤3-ab
解这个不等式，得-3≤ab≤1
∴-2ab∈[-2，6]
∵a2-ab+b2=（a2+ab+b2）-2ab=3+（-2ab）
∴a2-ab+b2∈[1，9]，
当且仅当a=b=1时，a2-ab+b2的最小值为1；当a=-b=时，a2-ab+b2的最大值为9
故答案为：[1，9]