Question

已知f（x）=a^x，g（x）=，（a＞0，a≠1）
（1）求g（x）+g（1-x）的值；
（2）记…+（n∈N^*），求a_n；
（3）设，数列{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，3f^-1（x）＞8S_n恒成立，求X的取值范围．

Answer

（1）由g（x）=，（a＞0，a≠1），知g（x）+g（1-x）=，由此能求出其结果．
（2）由…+（n∈N*），利用倒序相加法能够求出an．
（3）由，知，故Sn=，利用错位相减法能够求出x的范围．
【解析】
（1）g（x）+g（1-x）=
=+
==1．
（2）∵…+（n∈N*），
∴，
两式相加，得：++=n，
∴．
（3）∵，
∴，
∴Sn=，
设A=，
则+，
相减，得：，
∴，
∴，
∵f-1（x）=logax（x＞0），
∴3f-1（x）＞8Sn，
∴3，
∵且当n无限增大时，3-（2n+3）•无限接近3，
3f-1（x）＞8Sn对n∈N*恒成立，
∴logax≥1，
∴当a＞1时，x的范围：[a，+∞），
当0＜a＜1时，x的范围是（0，a]．