Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=k
（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求k的取值范围；
（3）证明：⁺）．

Answer

（1）求函数F（x）的单调区间，一般方法是：先对其在给定区间I上求导，若F′（x）≥0（不恒等于0），则F（x）在区间I上单调递增；若F′（x）≤0（不恒等于0），则F（x）在区间I上单调递减．当然含有参数时要进行讨论．
（2）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立的问题，可以转化为求函数的最值问题，先求导得到其单调区间进而转化为求其最值即可．
（3）转化为利用（2）的结论去证明即可．
【解析】
（1）函数F（x）的定义域是（0，∞）．
∵F（x）=lnx-k，∴=，①
方程x2+2（1-k）x+1=0的判别式△=4（1-k）2-4=4（k2-2k），
当△≤0时，即0≤k≤2时，在x∈（0，+∞）上，恒有F′（x）≥0成立，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增．
当△＞0时，得k＞2或k＜0．
而当k＜0时，由①可看出F′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增；
当k＞2时，方程x2+2（1-k）x+1=0的两根分别是：，．
可得：，
于是可判断出：在（0，x1）上，F′（x）＞0；在（x1，x2）上，F′（x）＜0；在（x2，+∞）上，F′（x）＞0．
所以，F（x）在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增．
（2）由（1）可知：当k≤2时，F（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴F（x）＞F（1）=0，满足条件．
当k＞2时，F（x）在（1，x2）上单调递减，∴F（x）＜F（1）=0，不满足条件．
综上可知：k的取值范围是（-∞，2]．
（3）由（2）可知：在x∈（1，+∞）上恒成立．
据此可令 ，则，
∴，
       ，
        …
       ．
将上面的n个不等式相加得 ，
即．