Question

已知F是抛物线y²=4x的焦点，Q是其准线与x轴的交点，直线l过点Q，设直线l与抛物线交于点A，B．
（1）设直线FA、FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（2）若线段AB上有一点R，满足，求点R的轨迹．

Answer

（1）由题意可得P（1，0）、Q（-1，0），设直线l的方程为 y=k（x+1），k≠0，A（ x1，y1） B（x2，y2），求出 k1+k2 的解析式．由 可得关于x的一元二次方程，把韦达定理代入 k1+k2 的解析式，化简可得结果．
（2）设R（x，y），由  可得，=，由此求得y=2k，再由R（x，y）在线段AB上，故有 y=k（x+1），求得x=1．再由 k2x2+（2k2-4）x+k2=0的判别式△＞0 求出k的范围，可得y的范围，从而求得点R的轨迹方程，进而得到点R的轨迹．
【解析】
（1）由题意可得P（1，0）、Q（-1，0），设直线l的方程为 y=k（x+1），k≠0，A（ x1，y1） B（x2，y2），
则 k1+k2=+=  ①．
由  可得 k2x2+（2k2-4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1•x2=1．
代入①可得 k1+k2=0．
（2）设R（x，y），∵，而 ==，=，∴=．
从而有 y===2k．再由R（x，y）在线段AB上，故有 y=k（x+1），故有x=1．
再由 k2x2+（2k2-4）x+k2=0 的判别式△＞0，求得-1＜k＜1，故所求点R的轨迹方程为 x=1 （-2＜y＜2 y≠0），轨迹是一条线段．