Question

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与n²+2011n的大小．

Answer

对于（1）需要对数列递推式an+1=3an-4n+2进行转化，转化为等差或者等比数列的形式进行解答，针对bn=an-2n的形式设计，可以两边减去2n，于是凑出形式an-2n，即：an+1-2（n+1）=3（an-2n），于是得到一个等比数列{an-2n}，很好的完成了转化．
（2）的解答需要利用（1）的结论，求出数列{an}的通项公式，进一步求出其前n项的和，再利用作差的思想Sn-（n2+2011n）化成函数（自变量是正整数n）的问题进行讨论即可．
【解析】
（1）由an+1=3an-4n+2得an+1-2（n+1）=3（an-2n），
又a1-2=1≠0，an-2n≠0，得，
所以，数列{an-2n}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，bn=3n．
（2）an-2n=3n⇒an=2n+3n，，．
设cn=3n-1340n-1，
由于cn+1-cn=2•3n-1340
当n＜6时，cn+1＜cn
当n≥6时，cn+1＞cn
即，当n＜6时，数列{cn}是递减数列，当n≥6时，数列{cn}是递增数列
又c1=-4018＜0，c8=-4160＜0，c9=7622＞0
所以，当n≤8时，Sn＜n2+2011n；
所以，当n＞8时，Sn＞n2+2011n．