Question

已知抛物线C：y²=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得恒为定值．

Answer

（I）由题意得M（1，0），直线l的方程为y=x-1与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标与圆的半径，从而可得圆的方程；
（II）若存在这样的点M，使得为定值，直线l：x=ky+m与抛物线方程联立，计算|AM|，|BM|，利用恒为定值，可求点M的坐标．
【解析】
（I）设A，B两点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为P（x，y），
由题意得M（1，0），直线l的方程为y=x-1．（2分）
由可得x2-6x+1=0，
则x1+x2=6，x1•x2=1，∴．（4分）
故圆心为P（3，2），直径．
∴以AB为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16．（6分）
（II）若存在这样的点M，使得为定值，直线l：x=ky+m．
由，∴y2-4ky-4m=0，∴y1+y2=4k，y1y2=-4m．
又∵，
∴=，（13分）
因为要与k无关，只需令，即m=2，进而．
所以，存在定点M（2，0），不论直线l绕点M如何转动，恒为定值．